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为什么要寻找梅森素数

来源:科普时报 作者: 2017年09月29日 10:21
[导读] 

 美国密歇根大学博士后 陈亮

2300多年来,人类仅发现49个梅森素数,并且确定2^37156667-1位于梅森素数序列中的第45位。它的研究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志,也是整个科技发展的里程碑之一。

迄今为止,全球有超过190个国家和地区的近67万人参加了一个名为“互联网梅森素数大搜索”的国际科研合作项目,并动用超过了155万核中央处理器(CPU)联网来寻找梅森素数。可见,梅森素数的寻找非常火爆;这在数学史上是前所未有的,在科学史上也是极为罕见的。

人们为什么要寻找梅森素数?因为它有独特的性质、重大的意义和美妙的趣闻。

图片来自网络

          什么是梅森素数

素数又叫质数,是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数,如2、3、5、7、11等等。2300多年前,古希腊数学家欧几里德就已证明素数有无穷多个,并提出一些素数可写成“2^P-1”(即2的P次方减1,其中指数P也是素数)的形式。由于这种特殊形式的素数具有独特的性质,许多著名数学家(包括费马、欧拉、高斯、图灵等)和无数数学爱好者都对它情有独钟;其中17世纪的法国数学家、法兰西科学院的奠基人马林·梅森(Marin Mersenne)在这方面有过重要贡献。为了纪念梅森,数学界就将“2^P-1”型的素数称为“梅森素数”。

梅森素数貌似简单,但当指数P值较大时,其素性检验的难度就会很大;它的探究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧,而且还需要进行艰巨的计算。例如,享有“数学英雄”美誉的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉1772年在双目失明的情况下,靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是第8个梅森素数;该数有10位数,堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉的顽强毅力和解题技巧令人赞叹不已;法国大数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯说的话,或许可以代表我们的心声:“读读欧拉,他是我们每一个人的老师。”以前手算时代,人们历尽艰辛,仅发现12个梅森素数。

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电子计算机的出现,大大加快了探究梅森素数的步伐。例如,1952年初,美国数学家拉斐尔·鲁宾逊将著名的“卢卡斯-莱默检验法”编译成计算机程序,不到10个月的时间就找到了5个梅森素数:2^521-1、2^607-1、2^1279-1、2^2203-1和2^2281-1。随着指数P值的增大,每一个梅森素数的产生都艰辛无比;而科学家和数学爱好者仍乐此不疲,激烈竞争。

1979年2月23日,当美国克雷研究公司的计算机专家戴维·史洛温斯基和哈利·纳尔逊宣布他们找到第26个梅森素数——2^23209-1时,有人告诉他们:在两星期前美国加州的高中生兰登·诺尔就已经给出了同样结果。为此他们发愤忘食,又花了一个半月的时间,使用超级计算机找到了更大的梅森素数——2^44497-1。由于史洛温斯基一共发现7个梅森素数,他被人们誉为“素数大王”。

尤其值得一提的是,人们在寻找梅森素数的同时,对其重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。从已发现的梅森素数来看,它们在正整数中的分布时疏时密、极不规则;因此,探究梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。虽然英、法、德、美等国的数学家曾提出过有关梅森素数分布的猜测,但都以近似表达式给出,且与实际情况的接近程度均难如人意。中国数学家、语言学家周海中运用联系观察法和不完全归纳法,于1992年率先给出了梅森素数分布的精确表达式。后来这一重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数学家、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为,周氏猜测具有创新性,开创了富于启发性的新方法;其创新性还表现在揭示新的规律上。

1996年初,美国计算机专家乔治·沃特曼编写了一个寻找梅森素数的计算程序;1997年,美国计算机专家斯科特·库尔沃斯基和同伴建立了“素数网”,使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。这就是举世闻名的GIMPS项目,也是世界上第一个基于互联网的分布式计算项目;人们只需要在该网站主页下载相关免费程序,就可以参与搜索梅森素数了。

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为了激励人们寻找梅森素数和促进分布式计算技术发展,总部设在美国的电子前沿基金会(EFF)于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找梅森素数而设立的协同计算奖。该奖规定:向第一个找到超过1000万位数的个人或机构颁发10万美元;后面的奖金依次为:超过1亿位数,15万美元;超过10亿位数,25万美元。事实上,绝大多数研究者参与GIMPS项目不是为了金钱而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。

美国加州大学洛杉矶分校计算机专家埃德森·史密斯于2008年8月找到了第一个超过1000万位的梅森素数——2^43112609-1;他获得了10万美元的奖励,其发现被著名的《时代》(Time)周刊评为“2008年度50项最佳发明”之一,排名在第29位。2016年1月,美国密苏里中央大学数学家柯蒂斯·库珀找到了目前人类已知的最大素数——2^74207281-1;该数是第49个梅森素数,有22338618位数;如果用普通字号将它连续打印下来,其长度可达100公里!

2300多年来,人类仅发现49个梅森素数,并且确定2^37156667-1位于梅森素数序列中的第45位。49个梅森素数中的最后15个是通过GIMPS项目找到的,其发现者来自美国(9个)、德国(2个)、英国(1个)、法国(1个)、挪威(1个)和加拿大(1个)。著名的《自然》杂志曾声称,GIMPS项目不仅会进一步激发人们对梅森素数探究的热情,而且会引起人们对分布式计算技术应用的高度重视。

梅森素数在当代具有重大意义,是发现已知最大素数的最有效途径,从而推动了“数学皇后”——数论的研究。另外,梅森素数在计算机科学领域有着重要的应用价值,它可以用来检测计算机系统或程序中存在的问题。例如,德国一名GIMPS项目参与者最近发现:当美国英特尔公司设计的第六代Core处理器Intel Skylake在执行Prime95应用来搜索梅森素数时,运算到指数P=14942209就出现了触发系统死机的漏洞(bug);英特尔公司已经承认存在该漏洞并做了修复。

由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持,也由于发现新的“超大素数”所引起的国际影响,使得对于梅森素数的研究能力已在某种意义上标志着一个国家的科技水平,而不仅仅是代表数学的研究水平。英国数学协会主席马科斯·索托伊认为,它的研究进展不但是人类智力发展在数学上的一种标志,也是整个科技发展的里程碑之一。毫无疑问,魅力无穷的梅森素数将会吸引着更多的有志者去寻找和研究。

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[责任编辑:xiangzheng]
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