正值暑期旅游旺季。说起旅行，选到一家心仪的旅馆也能给整个旅程加分不少。不过，今天我们要介绍的旅馆，大家应该都没住过，它就是有无穷个房间的希尔伯特旅馆。

神奇的希尔伯特旅馆

无穷个房间的旅馆和有穷个房间的旅馆，到底有什么区别？每到旅游旺季，很多旅馆总是人满为患。如果你来到只有有穷个房间的旅馆，并且已经客满，就只能去别家碰运气了。但如果你来到有无穷个房间的希尔伯特旅馆，那就完全不一样啦。

假设现在希尔伯特旅馆已经住进了无穷多个客人，是客满的状态，但还有新客人想办理入住，怎么办？没问题，大堂经理来安排：不妨设旅馆的房间标号是1、2、3、4、5……，现在新来的客人需要3间房间，只需要让所有已经入住的客人整体向后挪3位，把1、2、3号房腾出来，就分分钟安排好了。

如果现在有无穷多个客人想来办理入住呢？不妨设想希尔伯特旅馆旁边还有一家伯希和旅馆，也有无穷个房间，而且也已经都住满了。但伯希和旅馆突发火情，所有客人都要到隔壁希尔伯特酒店寻找房间。

没问题，大堂经理来安排：把房间1中的客人调至房间2，房间2中的客人调至房间4，房间3的客人调到房间6……以此类推，把所有n号房的客人挪到2n号房间，这样，无穷多个奇数号码的房间1、3、5、7……就空出来了，足以安排新来的无穷多个客人。

现在，如果有无穷多的客人有更高的要求：想寻求左右无人打扰的个人空间，该怎么办？没问题，大堂经理来安排：把房间1中的客人调至房间10¹=10，房间2中的客人调至房间10²=100，房间3中的客人调至房间10³=1000……。

想象一下，现在来了一位新客人，他要求自己房间两侧都至少有100个空房间，以达到绝对的安静，此时，经理就可以将这个麻烦的客人安排在500号房间，这样，和他最近的客人分别住在100号和1000号房间，完全满足要求。

以上三种情况都是有穷个房间的旅馆无法应对的，但对于拥有无穷个房间的旅馆来说，却可以一一化解。这样神奇的旅馆真的存在吗？

探寻“无穷”的历程

希尔伯特旅馆，实际上是由德国数学家大卫·希尔伯特最早提出的一个“概念旅馆”。1924年，在一场题为“论无穷”的报告中，希尔伯特以这个旅馆为例来探讨无穷的特性。其实，不只希尔伯特，不论古今中外，关于无穷的探索从来没有停止过。

在古希腊，哲学家芝诺通过“阿基里斯和乌龟”“飞矢不动”等悖论，探讨了连续性与无限分割问题。17世纪末，英国科学家牛顿与德国数学家莱布尼茨，在分别发明微积分时引入了“无穷小”的概念。

在中国古代，庄子提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，明确表述了无限分割的思想，这一提法与芝诺的悖论遥相呼应。魏晋时期的刘徽在《九章算术注》中提到用正多边形无限逼近圆面积，这实质是极限思想的雏形。

集合论领域对于无穷的探索既深入又有趣：是只有一个无穷，还是可以区分出不同的无穷？如果有不同的无穷，那么有有穷多个无穷，还是无穷多个无穷？这些无穷之间可以比大小吗……

无穷真的存在吗

有无穷个房间的希尔伯特旅馆有非常多的优点。但无穷真的存在吗？尽管在数学理论中假设无穷能带来很多便利，但并不是所有的数学家和逻辑学家都承认无穷。

当下的很多时候，当我们把所有自然数放在一起组成一个自然数集N时，已经把无穷当作一个完整的集合实体接受下来了。但古希腊先贤亚里士多德认为，无穷只能作为潜在的过程（潜无穷），这意味着他接受自然数可以无限延伸，但不能作为一个完整集合存在。德国数学家高斯也反对把无穷作为数学实体。数学领域还有一个直觉主义学派，其代表人物荷兰的布劳威尔，只接受使用有穷步骤的构造证明。

不管无穷是否真的存在，无穷都是值得人们永恒探索的问题。正如希尔伯特所言：“无穷！没有任何其他的问题曾如此深刻地触动了人类心灵；没有任何其他观念曾如此有效地刺激了人类理智；也没有任何其他概念比无穷概念更需要加以澄清。”

（作者系中国科学院哲学研究所教授）