《九章算术》之线性方程组解法

——中国古代重要科技发明创造(三十四)

来源:科普时报 2024-09-13

□ 王渝生

余生趣潭

中国汉代古算书《九章算术》方程章中的“方程”与现在的方程含义不同,它不是指含有未知数的等式,而是指根据一定规则由数字排列而成的呈方形的程式。

以《九章算术》方程章第一题为例:“今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何。”

如用现在设未知数列方程的方法,列出的线性(一次)方程组为:

3x+2y+z=39

2x+3y+z=34

x+2y+3z=26

中国古代没有设未知数的习惯,而是直接用算筹将数目列在筹算板或者桌面上。这种算式是按某种比率关系建立起来的数字阵,似乎是分离系数法的体现。

解这个“方程”用的是“直除法”。所谓直除法,就是整行与整行对减。此处方程的建立及消元变换采用位值制,每个数字不必标出它是什么物品的系数,而是用所在的位置表示。《九章算术》方程的表示,相当于列出其增广矩阵,消元过程相当于矩阵变换。

用直除法必然会出现零减去正数的情况。为使运算继续下去,就必须引进负数概念。

《九章算术》所载的“正负术”,就是为解决这一问题而提出的。这是世界数学史上最卓越的成就之一:“正负术曰:同名相除(减),异名相益(加);正无入负之,负无入正之。其异名相除,同名相益;正无入正之,负无入负之。”这也是在世界上第一次讲到了正负数的加减法。

筹算怎样来表示正负数呢?

《晋书》《隋书》“律历志”中有这样的记载:“魏陈留王景元四年(公元263年)刘徽注《九章算术》。”刘徽的《九章算术注》给后人留下了宝贵的数学遗产。刘徽称:“今两算得失相反,要令正负以名之。正算赤,负算黑,否则以邪正为异。”意思是说,同时进行两个运算,若结果得失相反,那就要分别叫作正数和负数,并用红筹代表正数,黑筹代表负数。不然的话,就将算筹斜放和正放来区别。这是世界数学史上第一次突破了正数的范围,也是对负数第一次做出合理解释。

除中国外,世界上对负数概念的建立和使用都经历了一个曲折的过程。

希腊数学注重几何,而忽视代数,几乎没有建立过负数的概念。印度婆罗摩笈多开始认识负数,采用小点或小圈记在数字上面表示负数。对负数的解释是负债或损失,只是停留在对相反数的表示上,尚未将负数参与运算。

欧洲第一个给出负数正确解释的是斐波那契,他在解决一个关于某人的盈利问题时说:“我将证明这问题不可能有解,除非承认这个人可以负债。”

1484年,法国的舒开给出二次方程一个负根。意大利的卡当在1545年区分了正负数,把正数叫作“真数”,负数叫作“假数”,并正式承认了负根,不过,这些思想都没有在欧洲引起足够重视。直到18世纪,有些数学家还认为负数这个比零小的数是不可能的。

负数在西方发展得如此缓慢,而中国却对负数有深刻的认识,这不能不说是中国数学思想的先进。

最后,需要补充一点的是,刘徽还用齐同原理证明了直除法的正确性,而且还创造了互乘相消法,与现今解线性方程组的方法完全一致。

刘徽是中国古代最早的著名数学家。他对《九章算术》齐同术、今有术、割补术的整理阐发,对割圆术、刘祖原理、十进分数的新的数学创造,对《九章算术注》中补第十卷“重差”后,被唐代李淳风在“算经十书”单篇刊出为《海岛算经》,都是中国传统数学的累累硕果。

中国数学大师吴文俊院士对刘徽《海岛算经》重差术有专门的研究著述,对《九章算术》法译本十分赞赏。

(作者系国家教育咨询委员会委员、中国科技馆原馆长)



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王渝生
科学史家,科普名家,国家教育咨询委员会委员
专家简介
王渝生,1943年重庆生人,1966年毕业于四川师范大学数学系,1981年毕业于中国科学院研究生院,理学博士、教授、博士生导师。德国慕尼黑大学博士后。曾任全国政协委员、教科文卫体委员会委员,北京市科协副主席、科普工作委员会主任,中国科技馆研究员、原馆长、党委书记。著有《自然科学史导论》、《科学寻踪》《科技百年》《中国算学史》 等,荣获国家图书奖、中国图书奖等。
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