四元术是在天元术基础上发展而来的。天元术是中国古代一元高次方程的解法，由金末元初数学家李冶（1192-1279年）等人创立。

我国唐代已有高次方程解法萌芽，宋代增成开方法进一步发展，金元时期李冶的《测圆海镜》（1248年）系统阐述了天元术，与秦九韶、杨辉、朱世杰并称“宋元数学四大家”。

天元术成功后，数学家们开始探索多元方程组。

二元术：李德载的《两仪群英集臻》引入天、地二元；三元术：刘大鉴的《乾坤括囊》发展出天、地、人三元；四元术：朱世杰最终完成从三元到四元的突破，将“多元高次方程组理论”推向顶峰。

被誉为“中世纪世界最伟大的数学家”的朱世杰，同时也是一位教育家。朱世杰（约1249-1314年），燕山（今北京）人氏，毕生从事数学教育，“以数学名家周游湖海二十余年”，弟子众多。朱世杰著有《算学启蒙》（1299年）和《四元玉鉴》（1303年）两大数学巨著。

《四元玉鉴》是四元术的集大成之作，全书三卷二十四门，共288问，系统阐述四元术、垛积术（高阶等差级数求和）和招差术（高阶内插法）。这本书是当时全世界最高数学成就，代表中国传统代数学的巅峰。

朱世杰创造性地用天、地、人、物四元表示4个未知数（相当于现代代数中的x、y、z、w）。其表示方法为：“太”（常数项）置于中央，天元（x）置于下方，地元（y）置于左侧，人元（z）置于右侧，物元（w）置于上方。

这种位置表示法是中国传统数学的独特创造，属于“位置代数”，与西方文字代数截然不同。

四元术的精华在于四元消法，这是解多元高次方程组的核心技术：通过逐步消元，将多元方程组转化为一元高次方程求解。

消元步骤为：先选定一个未知数为主元，将其他元视为系数，构成一元方程，通过“剔消”“易位”“互隐通分”“内外行乘积”等技巧，逐步消去其他未知数，最终得到一元高次方程，用秦九韶“玲珑开方法”求解。

四元术的特色在于将消元法推广到多元非线性方程组，融汇了秦九韶高次方程解法和李冶天元术，是中国传统数学算法的集大成。

元代之后，受战乱和明清“八股取士”的影响，四元术逐渐被忽视，几乎成为“绝学”。

清代《四库全书》编纂时重新发掘，阮元、罗士琳、李善兰等数学家相继展开研究。

四元术的算法思想与现代计算机代数系统有异曲同工之妙，体现了中国古代数学的“机械化算法”传统。

四元术是中国古代数学皇冠上的明珠，彰显了中华民族的数学智慧。从李冶的天元术，到朱世杰的四元术，展现了中国数学家不断探索、勇于创新的精神。四元术的“位置代数”思想与现代计算机编程语言中的数组、矩阵表示法有着内在联系。

（作者系国家教育咨询委员会委员、中国科技馆原馆长）